La matematica tratta oggetti intuitivi come insiemi, punti, rette, numeri, figure geometriche e oggetti più astratti come le funzioni; in ambedue i casi tali oggetti vengono definiti facendo riferimento a qualcosa di già conosciuto, utilizzando opportuni principi, assiomi e postulati che sono principi evidenti che non hanno bisogno di una dimostrazione. Man mano che si definiscono gli oggetti, risalendo verso concetti sempre più generici, si arriva al punto che taluni oggetti non possono più essere definiti, possono essere al massimo descritti con evidenze ed esempi. Tali oggetti o concetti primitivi vanno assunti come i fondamenti di tutta la costruzione matematica successiva, tali fondamenti sono i principi, che per definizione sono indimostrabili e assunti veri.
Principi, Assiomi e Postulati
Principi. Indicano le leggi e gli oggetti fondamentali, appunto i principi primi, su cui si basa una teoria matematica o fisica. Arrivati a questo punto non ci sono concetti più generali ai quali riferirsi e che definiscono tali oggetti, da questi principi primi si fondano tutti i costrutti deduttivi che sviluppano la teoria.
Assioma (o postulato). E’ una proposizione evidente da sè, che non ha bisogno di essere dimostrata e che si assume a fondamento di una dimostrazione. Gli assiomi descrivono le proprietà degli oggetti matematici o fisici che si vogliono definire.
Esempio. Nell’ analisi matematica un insieme è un concetto primitivo, cioè non esistono definizioni più generiche per descriverlo, questo oggetto è regolato da assiomi (leggi matematiche) che sono evidenti da sè, cioè non hanno bisogno di una dimostrazione. Il concetto primitivo di insieme e gli assiomi che lo regolano formano i principi, cioè le leggi su cui si basa la teoria degli insiemi.