La Teoria degli Insiemi

La Teoria degli Insiemi

La teoria degli insiemi è posta a fondamento della logica matematica, è stata sviluppata tra il 1890 ed il 1930. E’ una teoria molto importante perchè nelle trattazioni moderne, la maggior parte degli oggetti matematici, come numeri e funzioni, vengono definiti a partire dagli insiemi. Questo vuol dire che la teoria degli insiemi è considerata un principio fondamentale (vedi principi, assiomi e postulati) della moderna analisi matematica, a partire da questa teoria si sviluppano moltissimi altri teoremi.

Insieme. E’ un concetto matematico che assumeremo come primitivo perchè non è derivabile da concetti più generali, un insieme A è definito come una collezione di oggetti che prendono il nome di elementi dell’insieme A, tali oggetti che fanno parte della collezione possono essere di vario tipo (numeri, lettere, persone, ecc.). Un insieme può essere descritto esplicitamente elencandone gli elementi:

A = \{1 , 3\}

I numeri 1 e 3 sono gli elementi dell’insieme A; in questo caso diremo quindi che 1 \in A, cioè l’elemento 1 appartiene (\in) all’insieme A, mentre del numero 2 diremo che non appartiene all’insieme A, per cui 2 \notinA (\notin = non appartiene).

INSIEMI FINITI E INFINITI.

Quello che abbiamo appena esaminato è un esempio di insieme finito visto che è composto da soli due elementi e cioè il numero 1 ed il numero 3. Tali insiemi possono essere descritti esplicitamente, diversamente dagli insiemi infiniti dove invece non è possibile elencare tutti gli elementi. Esempi di insiemi infiniti sono:

Numeri naturali \textbf {N} (1, 2, 3, 4, 5, ….), sono tutti i numeri interi positivi da 1 a \infty (infinito).
Numeri interi relativi \textbf {Z} (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...), sono formati dai numeri interi positivi con l’aggiunta dello zero e dei numeri interi negativi, sono compresi fra -\infty e +\infty.
Numeri razionali \textbf {Q} (..., -\frac {1}{2}, 0,\frac {1}{2}, \frac {2}{3}, ... ), sono frazioni in cui figura un numero naturale al denominatore (1, 2, 3, 4, ...) ed un intero relativo al numeratore (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...), possono essere esplicitati in forma decimale semplicemente dividendo il numeratore per il denominatore (\frac {1}{2} = 0,5), sono compresi fra -\infty e +\infty.
Numeri reali \textbf {R} , sono tutti i numeri e comprendono i numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e trascendenti (questi ultimi due li vedremo più avanti).

Come abbiamo scritto precedentemente questo tipo di insiemi, che sono infiniti, non possono essere descritti esplicitamente elencandone gli elementi per cui si rende necessario individuare una proprietà che caratterizza solo quell’insieme. Per esempio nel caso dei numeri reali positivi \textbf {R}^+, la proprietà caratteristica, è che sono tutti i numeri maggiori di 0, per cui l’insieme \textbf {R}^+ può essere descritto tramite la sua proprietà caratteristica (x > 0) con la seguente notazione \textbf {R}^+ = \{ x \in \textbf {R} : x > 0\}, che si legge x appartiene (\in) a \textbf {R} tale che (:)x è maggiore di 0.

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